什么函数是偶函数-什么函数是偶函数

啥叫偶函数？这就好比你站在一条直路上，往左走和往右走，身体对称，影子也跟着对称，不管你是朝东走还是朝西走，你脚下的路实际上是一样的。在数学里，这对应到函数 $f(x)$，就是对于任意一个输入值 $x$，它的输出值 $f(x)$ 和 $-x$ 的输出值 $f(-x)$ 是绝对相等的。
打个比方，要是你把横坐标 $x$ 翻个身变成 $-x$，你看到的图像就会上下翻转，但要是是偶函数，这个“翻身”之后，你原本画出来的那条线，还是那条线，只是位置变了罢了。 真正的偶函数，最核心的特征就是关于 $y$ 轴对称。你不用去管它具体画得有多像抛物线要么正弦波形，只要它不依赖 $x$ 的符号，只跟 $x$ 的平方相关，根本就能凑出个偶函数。
比如 $x^2$，甭管 $x$ 是 5 还是 -5，平方之后都是 25，彻底一样。再比如 $sin^2(x)$，不管你在哪个象限，反正的是反正的。
还有最好办的常数函数 $C$，甭管你 $x$ 是多少，它一辈子等于 $C$，这自然也是偶函数。
实际上大量略微复杂点的函数，只要能把它们拆成一局部加一局部，其中那些加的局部都是偶的，最终等于零的，那整个函数也是偶的。就像 $x^3 - x$ 这个，别看它不是纯粹的偶函数，但它能不能变成偶函数呢？把 $x^3$ 变成 $|x|$ 大约行得通，但 $x$ 本身不中，故此这个整体不是偶函数。 那啥情况下函数不是偶函数呢？要是说 $f(x)$ 是奇函数，那就意味着函数图像关于原点对称，输入 $x$ 和 $-x$ 的对应值互为反之数。
像 $x$、$x^3$、$ln(x)$ 这些，都符合奇函数的定义。而偶函数则彻底不管 $x$ 的正负，只看 $x$ 的“代数平方”。
要是图像不关于 $y$ 轴对称，那它大约率就是奇函数要么悬空函数。 在实际做题要么看解析的时候，你能够用一种更干瘪的方式去验证。随意挑两个数，比如 2 和 -2，算一下 $f(2)$ 和 $f(-2)$ 是不是相等。
要是相等，那原则上它就是偶函数。
要么挑三个数，比如 1 和 -1，看看 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 是否相等。
要是你发现自己算出来的结局是一模一样的，那你根本就锁定了，这就是偶函数。
这种验证法，就像坐飞机，你不需求知道飞机飞行的具体原理，只要用同样的程序，出发和到达的工夫点，你手里拿的日期是同一张纸，那就说明程序是偶函数。 除了代数推导，图像法也是最快的手段。你画个草图，要么看个图，看看它到底对称在哪。
要是是抛物线 $y = a(x-h)^2 + k$，只要 $h=0$，它就对称，是偶函数。
要是是双曲线 $y = frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}$，这也是偶函数。
要是是正切成偶半边的，也是偶函数。
反过来，要是是分式函数 $frac{x^2}{x+1}$，这种“自参考”的对称性不存有，它既不是偶也不是奇，这就像你站在原地转圈，转一周回到原点，但你的位置已经相对于地面的坐标变了，故此它既不是偶也不是奇。 在考试要么是做题的时候，遇到一个函数，第一反应一般是看定义域。
要是定义域关于原点对称，那就是个候选者，接下来看 $f(-x)$ 和 $f(x)$ 的关系。
要是写出来化简后它们相等，那你这就稳了，这是标准的解题套路。
要是写出来相等了，那它就是偶函数；要是不相等，那它就是奇函数要么别的啥。 大量人好办犯的毛病是死记硬背公式，比如看到 $x^n$ 就当作 $n$ 是偶数就是偶函数。
实际上要是 $n$ 是奇数，比如 $x^3$，那它就不是偶函数了。
故此不能看系数，要看整体。
还有好办被误导的，就是看到 $x^2 + 1$ 就当作它是偶函数，但实际上这是对的，出于它就是典型的二次函数。但要是看到 $x^3 + x$，别看它包含偶次项，但整体不是偶函数，这种直觉有时候是错的，需求计算验证。 在应用题里，偶函数的性质往往能帮我们找简便算法。
比如求一个函数在 $x$ 和 $-x$ 处的和，$f(x) + f(-x)$，要是是偶函数，那结局肯定是 $2f(x)$，这就省去了求 $f(-x)$ 的费事。
要是你算出来是 $2f(x)$，那直接求 $f(x)$ 的积分要么求值，就能大大加快速度。
这种利用对称性来简化计算的思路，在解决高数题目要么物理建模的时候特别好用，能帮你避开枯燥的重复劳动。 再说说那些看起来像奇函数的偶函数，比如 $x^3$，这实际上是个特例，出于 $(-x)^3 = -x^3$，它既知足奇函数的定义，又知足偶函数的定义，这种函数叫中函数。但在大多数一般/平平函数的分类聊聊里，我们主要区分奇偶和悬空。
比如 $sqrt{|x|}$，它的图像在 $x$ 轴下方是光滑的，但在 $x=0$ 处有个尖角，它关于 $y$ 轴对称，故此是偶函数。而 $frac{1}{|x|}$ 呢，别看它也关于 $y$ 轴对称，但在原点无定义，故此它是悬空函数，既不是奇也不是偶。 还有像 $x^2 sin(x)$ 这种复合函数，它明显不是偶函数，出于 $sin(-x) = -sin(x)$，正负号会抵消掉，害得整体变成负数。但要是你把它改成 $-sin(x)$，那这就变成了奇函数。
这种变换的过程，实际上就是在做“奇偶性分析”，这是做函数奇偶性题目标核心本事。 最终总结一下，判断一个函数是不是偶函数，就是看它的图像是不是关于 $y$ 轴对称，要么它的代数表达式里，各项的符号标号是否对调后依然相等。
不需求复杂的推导，好办粗暴地代入几个值验证一下，要么看一眼图像，就能得出结论。偶函数就像是一个忠实的镜像，它把你的人生（输入）和别人的人生（输出）搞反了，但你的人生本质还是那回事，只是镜像的角度不同罢了。下次做题看到这种函数，只要记得它的对称性，心里就有底了。