什么是约数约分-约数约分概念

在考试要么日常干活里，咱们常把整块大石头掰成两半，这叫约分。你要是认定数学题忒难，那可能是你还没用到这个“省力大法”。 约数嘛，说白了就是整除。
比如 12 和 8，能不能整除？能啊。12 除以 4 正好等于 3，8 除以 2 也正好等于 4。
那 4 既是 12 的因子，又是 8 的因子，这就叫公因数。
不过一般我们关心的不是“哪位是哪位的因子”，而是“哪位和哪位能整除”这件事本身。
这就叫公约数。 那如何约呢？最标准的方式就是辗转相除法。先拿大个数字除以小个数字，要是能整除，商就是约数，接着把小个数字换到去，拿刚刚的商再除以剩下的数，一直除到最终除不尽为止，最终那个不能整除的余数，就是最大公约数。哪位叫“约数”？它就是个能整除另一个数的数。 举个例子，咱们来算 108 和 24 的最大公约数吧。先把 24 除以 108，商是 0 余 24。
接着把 108 除以 24，商是 4 余 12。再把 24 除以 12，商是 2 余 0。出于最终除不尽余数为 0，那就成正了。
故此 4 就是答案。 要是直接除呢？先拿 108 除以 24，除不尽。
那 24 除以 108 的商是 0 余 24。
接着拿刚刚的商 108 除以余数 24，除不尽。目前 108 除以 24 的商是 4，余数是 12。再把 24 除以 12，整除！除得清！故此最大公约数是 12。 有时候不用算，光靠观察就能秒杀。
比如 18 和 24，都是 6 的倍数，那 6 肯定是公约数。
那 108 和 12，都是 9 的倍数，9 也是公约数。12 和 24，显然是 12 的倍数，12 还是公约数。4 呢？12 是 4 的倍数，24 也是 4 的倍数，4 还是公约数。到底哪些最大？12 和 9 都能整除这两个数，肯定比 6 大。
那 3 呢？18、24、108、12 都是 3 的倍数，3 也是公约数。但 3 比 4 小，故此 4 就是最大公约数。
这种一眼就能看出来特征的，考试里多分点。 约分实际上是约数的另一种应用。你把它看成一个动作，比如把分数里的分子分母，要么整式里的系数，都除以它们的最大公约数。 比如把分数 $frac{12}{16}$ 约分。先算 12 和 16 的最大公约数，是 4。分子分母都除以 4，$frac{12}{16}$ 就变成了 $frac{3}{4}$。想得更细一点，12 除以 4 得 3，16 除以 4 得 4，结局就是这个。 整式约分也是一样的道理。
比如 $6x^2 + 9x$ 约分。先看系数 6 和 9，最大公约数是 3。把 2 除以 3 得 2，把 x 和 1 除以 3 得 $frac{1}{3}$。
故此 $6x^2 + 9x = 3(2x^2 + 3x)$。 实际上约数和约分时常是连在一起的。约数是数学概念，约分是数学操作。在解方程、化简式子这些环节里，约分是必经之路。
比如解一元一次方程时，两边往往都有系数，这时候约分就是化简异中同。
比如解分式方程，分母有公因式，这时候约分就是消除公因式。 在分数运算里，约分也是基础。
比如 $frac{6}{8}$ 约分，分子分母同除以 2，拿到 $frac{3}{4}$。
这个 $frac{3}{4}$ 没必要再约了，出于 3 和 4 没有公因数了。 在求最大公约数的时候，除法也是核心算法。
比如求 36 和 24 的公约数。先除：36 除以 24 商 1 余 12。
然后 24 除以 12 商 2 余 0。除不尽余数为 0，写出商 2。
故此最大公约数是 2。 还有不到 100 的数，比如 18 和 24。18 除以 24 商 0 余 18。24 除以 18 商 1 余 6。18 除以 6 商 3 余 0。除不尽余数为 0，写出商 3。
故此最大公约数是 6。 约分在化简分式里也挺关键。
比如 $frac{16x}{24y}$。分子分母同除以 8，就拿到 $frac{2x}{3y}$。 约分和约分实际上是同一个动作的不同称呼。约数是那个数字，约分是那个动作。考试里考约分，实际上就是考你会不会按步骤把分子分母抄掉。 比如解方程 $x + 5 = 10$。先两边约分：$x + 5 = 10$。
然后减去 5：$x = 5$。 再比如解方程 $frac{x}{3} = 4$。两边约分：$frac{x}{3} = 4$。
然后乘以 3：$x = 12$。 还有像化简分式 $frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2a + 1}$。先把分子因式分解：$(a-b)(a+b)$。分母配方：$(a+1)^2$。
故此整个式子化简成 $frac{(a-b)(a+b)}{(a+1)^2}$。 实际上约分不光是分数，只要是有公因式的局部都能够约。
比如整式 $2x + 4$ 约分，系数 2 和 4 有公因数 2，除以 2 得 $x + 2$。 约数这个词用得挺多，但主要意思就是“整除”。整除得是整数除法，余数为 0 才是整除。 比方说 100 和 20 是整除的。100 除以 20 等于 5。
那 20 是 100 的约数。100 也是 20 的约数吗？100 除以 20 不等于整数，故此不是。 约数在数学定义里就是“有公因数”。两个数有公因数，那它们就是倍数关系。1 和 6 有公因数 1，故此它们是倍数关系。1 和 1 有公因数 1，故此它们是倍数关系。 比如 12 和 18。最大公因数是 6。6 是 12 的约数吗？12 除以 6 等于 2，除得清。
故此 6 是 12 的约数。6 是 18 的约数吗？18 除以 6 等于 3，除得清。
故此 6 是 18 的约数。 约数在求最大公约数里至关关键。出于最大公约数本身就是一个约数，它得能整除另外两个数。 在分数约分里，实际上也是用到了约数。
比如算 $frac{12}{16}$。12 和 16 有公因数 4。4 是 12 的约数吗？12 除以 4 等于 3，是。4 是 16 的约数吗？16 除以 4 等于 4，是。
那 4 就是最大公约数。
故此约分就是找最大公约数的过程。 约数在公倍数里也有用。两个数既是最大公约数，也是最小公倍数。
比如 36 和 24。最大公约数是 12，最小公倍数是 72。
那 72 是 36 的倍数吗？72 除以 36 等于 2，是。72 是 24 的倍数吗？72 除以 24 等于 3，是。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{16}{24}$。16 和 24 的最大公约数是 8。8 是 16 的约数吗？16 除以 8 等于 2，是。8 是 24 的约数吗？24 除以 8 等于 3，是。
那 8 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{36}{54}$。36 和 54 的最大公约数是 18。18 是 36 的约数吗？36 除以 18 等于 2，是。18 是 54 的约数吗？54 除以 18 等于 3，是。
那 18 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{8}{12}$。8 和 12 的最大公约数是 4。4 是 8 的约数吗？8 除以 4 等于 2，是。4 是 12 的约数吗？12 除以 4 等于 3，是。
那 4 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{9}{15}$。9 和 15 的最大公约数是 3。3 是 9 的约数吗？9 除以 3 等于 3，是。3 是 15 的约数吗？15 除以 3 等于 5，是。
那 3 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{7}{14}$。7 和 14 的最大公约数是 7。7 是 7 的约数吗？7 除以 7 等于 1，是。7 是 14 的约数吗？14 除以 7 等于 2，是。
那 7 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{10}{20}$。10 和 20 的最大公约数是 10。10 是 10 的约数吗？10 除以 10 等于 1，是。10 是 20 的约数吗？20 除以 10 等于 2，是。
那 10 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{12}{24}$。12 和 24 的最大公约数是 12。12 是 12 的约数吗？12 除以 12 等于 1，是。12 是 24 的约数吗？24 除以 12 等于 2，是。
那 12 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{16}{32}$。16 和 32 的最大公约数是 16。16 是 16 的约数吗？16 除以 16 等于 1，是。16 是 32 的约数吗？32 除以 16 等于 2，是。
那 16 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{20}{40}$。20 和 40 的最大公约数是 20。20 是 20 的约数吗？20 除以 20 等于 1，是。20 是 40 的约数吗？40 除以 20 等于 2，是。
那 20 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{30}{60}$。30 和 60 的最大公约数是 30。30 是 30 的约数吗？30 除以 30 等于 1，是。30 是 60 的约数吗？60 除以 30 等于 2，是。
那 30 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{45}{90}$。45 和 90 的最大公约数是 45。45 是 45 的约数吗？45 除以 45 等于 1，是。45 是 90 的约数吗？90 除以 45 等于 2，是。
那 45 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{60}{120}$。60 和 120 的最大公约数是 60。60 是 60 的约数吗？60 除以 60 等于 1，是。60 是 120 的约数吗？120 除以 60 等于 2，是。
那 60 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{80}{160}$。80 和 160 的最大公约数是 80。80 是 80 的约数吗？80 除以 80 等于 1，是。80 是 160 的约数吗？160 除以 80 等于 2，是。
那 80 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{120}{240}$。120 和 240 的最大公约数是 120。120 是 120 的约数吗？120 除以 120 等于 1，是。120 是 240 的约数吗？240 除以 120 等于 2，是。
那 120 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{180}{360}$。180 和 360 的最大公约数是 180。180 是 180 的约数吗？180 除以 180 等于 1，是。180 是 360 的约数吗？360 除以 180 等于 2，是。
那 180 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{240}{480}$。240 和 480 的最大公约数是 240。240 是 240 的约数吗？240 除以 240 等于 1，是。240 是 480 的约数吗？480 除以 240 等于 2，是。
那 240 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{360}{720}$。360 和 720 的最大公约数是 360。360 是 360 的约数吗？360 除以 360 等于 1，是。360 是 720 的约数吗？720 除以 360 等于 2，是。
那 360 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{540}{1080}$。540 和 1080 的最大公约数是 540。540 是 540 的约数吗？540 除以 540 等于 1，是。540 是 1080 的约数吗？1080 除以 540 等于 2，是。
那 540 就是最大公约数。
故此约分就是除以最大公约数的过程。 约数在约分里往往就是最大的那个。
比如 $frac{720}{1440}$。720