什么是函数的不可导点-函数不可导点定义

函数在数学世界里是个挺特别的家伙，它平时看着挺正常，就是让你动一动，它突然就不中了，像是一匹突然不爱走的马。我们说函数可导，就像说一个人步行“顺溜”，指着一瞬间就能迈开双腿，换个方向，速度变快变慢都行。但在某些地方，这双腿就卡住了，要么方向突然死板，连略微调整一下都做不到。
这时候，我们就说函数在那儿“不可导”。 有些同学可能认定，凡是导数不等于零的地方，肯定都是可导的，非零就是导数，等于零就是导数，反正有数就是有导数。
这就好比有人问一个“身高一米八的人，有没有力气”，实际上只说“有没有力气”是富余的，出于力气这东西，在身体各处的表现压根儿就不一样。有的地方肌肉结实，有的地方骨骼发硬，有的地方彻底是软肉。我们一般说的“可导”，是指函数在某个点附近的变化趋势是平滑的，就像一条直线切那会儿，切下来的那条线，叫切线。 要是一个点附近，函数值的变化就像跳了一下，就像坐过山车一样忽上忽下，那它在那儿肯定是不连续的，要么说变化忒剧烈了，没法画出一条平滑的直线。
这种地方，函数就不可导。
比如一个好办的绝对值函数 $f(x) = |x|$。画出来的图是个 V 字形，在 $x=0$ 这个尖尖的地方，曲线突然折了一下，彻底没斜率，没法切。你试着拿一支笔在 $x=0$ 那一下划，你不能画出函数图像，出于函数图像在尖点处是断开的，这就像人脚下一个台阶，你没法扶着台阶走，哪怕你腿再硬。
这就是不可导的典型缘由，变化忒剧烈，没法拟合一条直线。 再聊聊可导的地方。就算在那些没有尖角、没有断崖的地方，可导也有个门槛。比方说指数函数 $y = e^x$，它在任何地方都长得一模一样，是个完美的波峰波谷，一辈子不折了。
这时候你随意拿个算子去“量”一下，那个斜率一辈子是一样的，一辈子都是 $e^x$ 这个值。
这说明指数函数是个超好的函数，全局到处都平滑，处处都不可积？不对，那是另一个故事了。对于可导函数，斜率是固定的，这意味着它的积分路径是唯一的，你顺着斜率走，走多了，你走过的路是固定的，没有“二重积分”这种费力的感觉，出于每一步的斜率都不变，你不需求回头确认刚刚走的是哪条路，反正一直往前走就是指数函数的轨迹。 但要是函数在某一段里，斜率不是固定的，而是像个折线一样跳来跳去的，比如 $y = x^2$ 在 $x=0$ 点。画出来是个抛物线开口向上，顶点在原点。在 $x=0$ 左边，它是向左下倾斜的，斜率是负的；往右边，它是向右上倾斜的，斜率是正的。
这就好比一个斜坡，从左边看，你在往下滑；从右边看，你在往上爬。你站在原点这个具体的点上，你既往下滑又往上爬，你哪来的“速度”？你能够说有一瞬间速度为零，那是静止的，但你在那一瞬，左右两边的趋势彻底不同，你没法定义一个统一的“斜率”。
这就是导数存有的硬性要求：在定义点上，左右两边的变化趋势务必一致，才能算出一个统一的斜率。 这时候，数学上有个规矩叫“双侧导数”，就是左边减右边除以 $h$，右边减左边除以 $h$，这两个结局务必得一样，一样且为 0，这事儿才算数。
要是不一样，哪怕其他地方滑得再顺滑，在那一个具体的点上，你也彻底卡住了。就像有人问：“要是你目前站在世界中心，往东走一步，再往西走一步，你的净位移是正数还是负数？”这个难题本身就在暗示你，你的运动方向不统一，你就没法算出一个确定的“净结局”。 举个例子，想象一个函数在某点附近，左边是个 U 形，右边是个倒 U 形。在左边，你能够说函数是减函数，往右走越少，往左走越多；在右边，你能够说函数是增函数，往右走越多，往左走越少。
要是在一点上，左边是增函数，右边是减函数，那这一点的“斜率”就分裂了，有的地方高，有的地方低。你没法给这个点定个个儿。
这时候，函数要么在这一点上“死”了，要么是“死”的。 还有，还得提一下，可导大量时候是出于连续。
要是函数在某点不连续，比如那个绝对值函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处，左极限是 0，右极限也是 0，那它实际上是连续的。但要是左边是 $|x|$，右边是 $|x-1|$，那在 $x=0$ 处，左边是 0，右边是 1，不连续了。
不连续的地方，函数肯定不可导。
这就像这时候的人，左边的腿长，右边的腿短，你在脚底，左右腿长度不一样，你没法迈出一步，这比车坏了还难受。 再举个具体的数据例子，寻思函数 $f(x) = sqrt{x}$。它在 $x=0$ 处可导吗？画出来是个半圆形的根号小头，在 $(0,0)$ 点。左边是正数吗？不是，根号下要是负数，实数域就破功了。
故此 $x$ 务必大于 0。在 $x=0$ 这个点，左边没有东西能够拿来比，出于 $x$ 不能小于 0。
那你如何能判断斜率？你没法。
故此 $x=0$ 点处，函数不可导。
这就是出于定义域的限制，害得左右极限无法与此同时存有要么无法比较。 反过来，$y = x^2$ 在 $x=0$ 处是可导的。左边趋近的时候，斜率是 0；右边趋近的时候，斜率也是 0。左右彻底一致，并且极限存有，故此极限就是 0，导数存有。 还有一个有意思的现象，就是可导和可积相关。可导的函数一般也是可积的，出于它的变化是平滑的，面积好算。但反过来，可积的函数不一定可导，比如分段函数 $f(x) = 0$ 当 $x<0$，$f(x) = 1$ 当 $x ge 0$。
这个函数在 $x=0$ 处不连续，故此不可导。但它在整个定义域上还是“可积”的，出于你能够把它切成无数个小段，每段积分加起来，总长度是 1。
这说明，可导是局部性质，有时候只是转变了一个点的状态，但整体的积累本事还保留着。 故此小结一下，函数的不可导点，实际上就是函数在某一点上“不听话”的地方。
要么是出于函数在那儿跳闸了，害得左右变化趋势对不上，没法算出一个唯一的斜率；要么是出于函数在那儿有台阶、有尖角、有突变，害得它既不能切，也不能积。
这时候函数要么在局部“卡死”，要么在整体“失效”。 实际上数学里还有大量类似的点，比如无穷点，要么分段函数里的“断点”，只要让变化趋势乱了，要么让函数本身有了裂缝，那在这块地盘上，函数就再也无法被一条直线完美地“拥抱”了。
这就是为啥我们在考试要么做题时，时常要在那些看似平凡实则暗藏危机的地方下注。
毕竟，在数学的世界里，最平滑的地方，往往也是最好办出难题的地方，要不就那平滑得连自己都懒得提醒人。